La créativité en musique et en mathématiques

Pierre Boulez et Alain Connes, le 15 juin 2011.

Note

Les propos ont été retranscrits aussi fidèlement que possible, mais il se peut que des erreurs soient survenues lors de la conversion des données. En italique, des locutions déduites, faute de matériau. À présent qu’il existe une vidéo de cette intervention, il faut que je modifie cet article !

• A. : Gérard Assayag.

• B. : Pierre Boulez.

• C. : Alain Connes.

Jeudi 29 novembre 2012 à 15 h, Cédric Villani a tenu une conférence au Collège de France intitulée « D’où nous viennent nos idées et comment évoluent-elles ? La créativité en mathématiques et en musique ». La vidéo est disponible ici.

B. […] Il y a quelque chose chez le compositeur qu’on ne retrouve pas chez la machine : c’est l’accident, l’imprévu. Je préfère la fragilité à la sécurité des dogmes.

C. Il y a deux notions importantes en mathématiques : la créativité et l’esthétisme. D’ailleurs, la mathématique est une sorte de substitut à la philosophie par la création de concepts. Je vais vous lire un texte de Vladimir Arnold : « Mathematics is part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap. […] » Il y a quelque chose de nouveau dans les mathématiques du XXe siècle. Grothendieck parle de « simplicité enfantine ». Les mathématiques, c’est un usage rigoureux du langage qui permet de s’exprimer de façon parfaite. D’ailleurs, j’estime qu’il est important que vers 5-6 ans les enfants aient un contact avec la musique. Elle s’inscrit dans le temps exactement comme l’algèbre : dans les mathématiques, il y a cette dualité fondamentale entre d’un côté la géométrie qui correspond aux arts visuels, aux images mentales ; et de l’autre côté l’algèbre, qui inscrit une temporalité. Cela s’inscrit dans le temps, c’est le calcul, quelque chose qui est très proche du langage, et qui en a la précision diabolique.

A. On parle parfois de musique « à vue d’avion ». Il s’agit d’une analyse où on relie un point de la partition à un autre, alors que la musique n’était pas prévue à cet effet initialement. Quelle analyse faites-vous de la musique ?

B. En ce qui me concerne, je cherche à détecter une forme. Nous avions fait une expérience il y a quelques années en faisant écouter une sonate de Mozart à 3 personnes, une personne ayant une pratique professionnelle de la musique, une personne s’y connaissant et un non-musicien. Évidemment, le professionnel a fait l’analyse la plus précise. Nous avons réitéré l’expérience avec une musique contemporaine, et là les 3 avis étaient similaires, c’est-à-dire qu’il ne s’agissait plus d’une analyse de la forme, mais des événements : ils remarquaient certains passages, parce qu’ils étaient plus forts ou parce que l’instrumentation avait changé. Je pense que pour les non-musiciens, il s’agit d’une narration personnelle. D’ailleurs, je préfère de loin une analyse fausse qui engendre quelque chose, productive, à une analyse classique.

C. En mathématiques, il y a 2 analyses possibles pour une démonstration. Une analyse ligne à ligne, mais aussi certains mathématiciens ont la capacité de zipper une démonstration en une demi-seconde dans leur tête, ce qui leur permet de s’assurer de son intégrité.

B. En musique, il y a évidemment une différence entre compositeur et interprète. Le compositeur sait comment tout est fait tandis que l’interprète sait seulement quand il est au point D qu’il a joué le point A et qu’il va jouer le point L. Il a 3 dimensions : passé, présent et futur.

C. Il y a quelque chose en mathématiques – je me demande s’il en existe un équivalent en musique –, c’est qu’un mathématicien peut lire l’énoncé d’un théorème, commencer à chercher par lui-même, puis seulement après lire la démonstration en la passant en revue : ça, c’est rien, ça, c’est rien… ah, là ! Là, il y a quelque chose.

A. Donc vous pensez qu’il y aurait une histoire de compression ?

C. Oui. En fait, il y a une hiérarchie d’abstraction. Alors certes, certains mathématiciens comme Grothendieck ont trouvé 36 noms nouveaux, comme la théorie des schémas qu’il a développée, mais chacun se fait sa propre image mentale qui façonne sa pensée.

B. En musique, ça marche toujours à partir d’exemples. La mémoire permet ensuite d’aimanter la perception.

C. Grothendieck marchait un peu à l’envers, c’est-à-dire qu’il commençait par développer le cas général, mais la plupart des mathématiciens partent d’un bon exemple et déduisent un cas général.

A. […] Est-ce que certaines séquences suffisent à définir du temps ?

C. L’un des premiers thèmes auxquels je me suis intéressé, c’est la non-commutativité, là où l’ordre importe. Et là, le temps est engendré de manière naturelle. Ça vient de la mécanique quantique. Lorsqu’on fait de l’algèbre d’opérateurs, il y a un paramètre t qui représente réellement le temps. Descartes, lui, faisait des choses commutatives. La musique, c’est une analyse profonde du temps. Pour l’algèbre, c’est pareil.

A. […] D’après la correspondance de Curry-Howard, une preuve, ça peut être vu comme un programme. Mais la logique musicale, elle, n’a pas de valeur de vérité.

B. Oui. Je le dis discrètement, mais je le pense.

A. Et lorsqu’on définit un objet en mathématiques, on peut s’en servir des milliers de fois. Alors que si on réutilise un objet musical, ça ne donne pas du tout la même chose. Il n’y a pas ça en mathématiques.

C. Si, en logique linéaire : lorsque c’est utilisé une fois, on ne peut plus ! Les mathématiques ont tout de même un rôle esthétique. Un mathématicien, lorsqu’il voit une démonstration, peut savoir les chances qu’elle a d’être vraie. Un ordinateur sera capable de pondre 36 énoncés corrects, mais qui n’auront tout simplement pas de sens. Il y a une notion d”« énoncé merveilleux ». Si la musique n’a pas de sens, évidemment, elle ne sera pas intéressante. Un mathématicien pourrait passer sa vie à faire des énoncés corrects sans sens, mais il perdrait son temps. Et cette notion d’esthétique est extrêmement difficile à définir.

B. En musique, on voit bien qu’avec le même vocabulaire, dans un cas l’œuvre produite est très belle, dans l’autre elle ne l’est pas.

A. En composition assistée par ordinateur, les machines proposent de multiples possibilités, mais in fine c’est le compositeur qui décide. Comment pourriez-vous nous aider à choisir la bonne ? Qu’est-ce qui fait que vous fassiez un choix plutôt qu’un autre ?

B. J’ai une réponse toute bête à cette question : « parce que ça me plaît. » Je veux dire, on ne peut pas brasser 1 000 propositions. Il faut restreindre le périmètre du choix, puis se dire que telle idée sera meilleure qu’une autre. C’est de l’intuition, c’est un don. […] Berlioz avait un sens phénoménal de l’instrumentation, mais un sens de l’harmonie plutôt pauvre – certains pensent que c’est parce qu’il a fait de la guitare quand il était jeune, mais je ne pense pas que ça fasse plaisir aux guitaristes. Schumann lui, avait un sens de l’harmonie hors du commun, mais son langage instrumental était sans signification, sans couleur. Wagner lui avait tout, et il n’a jamais codifié sa musique. […]

C. En mathématiques, il y a 2 aspects. Le premier est rationnel, la vérification, la correction. Le deuxième est bien plus intéressant : il s’agit de la période où le mathématicien doit se permettre de rêver ; c’est une étape poétique, intransmissible en mots. Il ne faut pas l’écrire, puisque ça consisterait à essayer d’attraper *un papillon qui s’enfuirait alors*. Mais le rêve n’est pas admis en mathématiques, il faut publier et on ne peut se permettre de ne pas être rigoureux. C’est donc la partie invisible du mathématicien, partie qu’on réussit parfois à transmettre par la musique. Il m’est arrivé de chercher un problème et en écoutant un morceau très court, j’en ai trouvé la solution ; cet apport musical m’a été bien plus bénéfique que si j’avais lu un texte mathématique. Le prélude correspondait exactement à cette intuition. […] Avant Galois, les gens cherchaient une symétrie dans les racines. Galois lui l’a brisée. La musique pourrait transmettre une idée de manière complémentaire au langage. La polyphonie apporte bien plus que le langage linéaire.

[…]

C. J’estime que le processus de créativité devrait se rapprocher autant que possible de la perception enfantine.

B. Mais est-ce possible d’être enfantin – pardon, j’allais dire « infantile » – après toute l’expérience vécue ? N’est-ce pas artificiel ?

C. Quand Grothendieck est entré au CNRS, il a développé la théorie des « dessins d’enfants ». Il semblerait que certains mathématiciens aujourd’hui développent une « couche protectrice » qui les empêcherait de revenir à cette source d’inspiration. Galois avait ce mode de pensée, et aujourd’hui sa théorie n’est pas épuisée. C’est une idée qui met les choses en mouvement. Le musicien a une batterie émotionnelle qui se met en charge et il doit faire un effort pour rendre ça universel. Un mathématicien est comme un chasseur qui sent une chose, et la réalité l’empêche de la chercher.

B. En musique, l’objet n’existe pas.

C. Oui, il reste à construire.

B. Si le travail de composition n’est pas bien fait, la transmission se fera mal. Il y a les notes, et aussi la structure. Un son de tam-tam est bien plus intéressant qu’un son de violon, mais ce sera difficile à rendre. Alors qu’un fa dièse, c’est neutre.

C. Oui, c’est un peu comme comparer un idéogramme qui a du sens, à une simple lettre.

B. Oui. Ce n’est pas commode d’allier les deux.

A. Je suis désolé, il reste encore beaucoup de choses à dire, mais nous devons rendre l’antenne. Je vais finir sur une citation : « Pour que les machines puissent composer, il faudrait qu’elles soient capables de souffrir. »